Coseno

En este manual veremos como calcular el coseno de un angulo.

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

O también como la abscisa correspondiente a un punto que pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen (c = 1).

En matemáticas el coseno es la función obtenida al hacer variar la razón mencionada, siendo una de las funciones trascendentes.

También se puede definir mediante exponenciales de la forma:

Donde i es la unidad imaginaria.

 

Representación gráfica

 

Coseno de una suma o resta de ángulos

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica se muestra a partir del producto escalar de dos vectores.

Utilizando las dos definiciones de producto escalar se obtiene:

Por igualación se define que

Las componentes de los vectores se pueden reemplazar como la proyección de su módulo sobre los ejes, es decir

Reemplazando esta propiedad en ambos vectores nos queda

Extrayendo como factor común los módulos de los vectores en el segundo miembro

Simplificando nos queda la identidad trigonométrica

Coseno de la suma de dos ángulos

Si hacemos

obtenemos la resta. Como el coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el signo sale

Forma resumida

 

Coseno de un ángulo doble

Tenemos que

Hagamos entonces

Coseno del ángulo medio

Nótese que con un simple manejo algebraico podemos obtener la fórmula del coseno del ángulo medio. Sea

Como

la podemos escribir como

Sea

Entonces obtenemos

y analizando los signos de la expresión para cada cuadrante, concluimos que:

Transformación de una suma de cosenos en producto

Demostración

Sabiendo que

entonces

Hagamos y

Entonces, resolviendo el sistema se tiene que

Reemplazando se obtiene

Análogamente se demuestra para

Derivada del Coseno

Según la definición de derivada:

lo que es

Entonces, usando las fórmulas anteriormente señaladas, se tiene que

Sabiendo que y que el primer límite queda determinado, entonces