Número e

En este manual veremos como calcular el número e.

La constante matemática e es uno de los más importantes números reales. Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x) = e^x es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural o neperiano.

El número e, conocido como número de Euler fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como π lo es de la geometría e i del análisis complejo. El simple hecho de que la función e^x coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.

Su valor aproximado (truncado) es

Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier. No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El «descubrimiento» de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, diviendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50² = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25⁴ = 2,4414…En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x = 2,61303…UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818…UMs. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma contínua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará Ce^R UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

Definición

La definición más común es que e es el valor límite de la serie

que se expande como

Otra definición habitual según el cálculo integral es:

lo que significa que e se define por la relación:

Cálculo

La función exponencial f(x) = e^x es importante, en parte debido a que es la única función que es su propia derivada y vale 1 para x=0., y por lo tanto su propia primitiva también:

  y

Además, e es el límite de la sucesión de término general:

Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:

Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable h = 1 / x:

Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando h tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

Desarrollo decimal

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

Lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 … 1,2n,1, … ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.